miércoles, 28 de marzo de 2012

Gauss

Hemos visto en clase una primera idea, no demasiado precisa, de qué diferencia la geometría intrínseca de la extrínseca: sólo tener en cuenta la primera forma fundamental (equivalentemente, longitudes de curvas o áreas de recintos en una superficie) frente a tener en cuenta cómo la superficie se curva en el espacio (segunda forma fundamental).

El ejemplo más importante de resultado de geometría intrínseca es el Teorema Egregium de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1825), que viene a decir que si deformamos una superficie preservando las distancias entre sus puntos, entonces conservaremos la curvatura de Gauss. En particular, sólo podrán trazarse mapas planos sin distorsiones de superficies llanas, pero no de la tierra, ni siquiera de un trozo muy pequeño de ésta.

Este resultado de Gauss es sólo uno de tantos que dejó en matemáticas. No es casualidad que se la haya llamado el "Príncipe de las Matemáticas", y que se le considere el mayor matemático desde los tiempos de Euclides. Quizás nadie haya influido como él en el desarrollo posterior de las matemáticas, a las que el propio Gauss llamaba "la reina de las ciencias".

Gauss nació en un pueblo de la Baja Sajonia (Alemania), en una familia humilde. Su madre era analfabeta, y no llegó a anotar la fecha de nacimiento de Gauss ni a tener documento alguno de ello. Pero sí era bastante religiosa, y recordaba que dio a luz a su hijo Carl un miércoles, ocho días antes de la fiesta de la Ascención. El propio Gauss resolvió el problema de calcular su fecha de nacimiento, ideando un método para calcular fechas pasadas y futuras (calendario perpetuo).

Ni que decir tiene que Gauss fue un niño prodigio, y hay varias historias alrededor (aunque no sabemos muy bien cuáles son ciertas). Se dice que con tres años corrigió mentalmente y sin error en sus cálculos a su padre, mientras éste hacía un cálculo de sus finanzas. Otra historia famosa cuenta que en la escuela primaria y como castigo por haberse portado mal, su maestro JG Büttner, le impuso a Gauss la siguiente tarea: suma la lista de números naturales del 1 al 100. El joven Gauss produjo la respuesta correcta en cuestión de segundos, ante el asombro de su maestro y sus ayudantes (se cree que Gauss usó para ello el siguiente razonamiento: si sumamos pares de términos de la serie, empezando por extremos opuestos de la lista, producirán siempre la misma suma parcial: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, y así sucesivamente, por lo que en total tenemos 50 × 101 = 5050).

Estas y otras historias llamaron la atención del Duque de Braunschweig, que le financió sus estudios desde los 15 hasta los 21 años. Sus mejores trabajos en teoría de numeros, que han modelado esta disciplina hasta hoy, están en el libro Disquisitiones Arithmeticae, que escribió cuando tenía 21 años, recién acabados sus estudios en la Universidad de Gottingen. En este campo, podemos citar (aunque quizás no sea el más importante de sus descubrimientos) un resultado que llevó a una anécdota: Gauss probó que todo polígono regular cuyo número de lados es un primo de Fermat $2^{2^n}+1$, es constructible con regla y compás (la constructibilidad de polígonos era un problema abordado desde los antiguos griegos). Tan orgulloso estaba Gauss de este descubrimiento que quiso que su tumba tuviera grabado un polígono regular de $17=2^{2^2}+1$ lados. Sin embargo, el encargado de esculpir la lápida se negó a hacerlo porque este polígono se parece demasiado a una circunferencia como para poder diferenciarlos en la lápida.

Mucho más importante es el Teorema Fundamental del Algebra, también debido a Gauss (aunque en su demostración original, Gauss usaba implícitamente el Teorema de la curva de Jordan, que no había sido rigurosamente demostrado aún). No obstante, Gauss ideó otras tres demostraciones de este importante resultado posteriormente.

 Otro campo en el que hizo importantes descubrimientos fue la astronomía. En 1801, el astrónomo italiano Piazzi decubrió el asteroide Ceres. Piazzi lo siguió con su telescopio durante 3 meses, hasta que su trayectoria fue ocultada por la del Sol. Según los cálculos de Piazzi, cuando el asteroide debió reaparecer no lo hizo, lo que mostraba algún fallo en los cálculos de su trayectoria. Y es que los datos obtenidos por Piazzi y las matemáticas desarrolladas en aquella época no eran suficientes para trazar la trayectoria del asteroide. Gauss se interesó por el problema, y en 3 meses de trabajo predijo la posición del asteroide mediante un novedoso método para determinar una cónica en el espacio, teniendo como datos un foco (el Sol) y la intersección de la cónica con tres líneas dadas (tres líneas de visión desde la Tierra), de las que se sabe los tiempos en que se han determinado (a partir de este dato se podían calcular las longitudes de los arcos de cónica correspondientes, por la ley de Kepler). Este método produce una ecuación de grado 8, que Gauss pudo resolver. Este problema y su solución llevó a Gauss a interesarse por el movimiento de los cuerpos celestes, lo que a la larga le supuso ser nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio astronómico de Gottingen. Durante sus investigaciones en este campo introdujo la constante gravitacional de Gauss, descubrió el método de los mínimos cuadrados para minimizar el error en las interpolaciones necesarias en Astronomía, introdujo la distribución Gaussiana (campana de Gauss), entre otros.

En Geometría, y además del Teorema Egregium, Gauss afirmó haber descubierto geometrías no Euclídeas pero nunca publicó este descubrimiento, que fue finalmente publicado por Bolyai. Es curiosa una carta que Gauss escribió a Bolyai: "Alabar sus descubrimientos equivaldría a elogiarme a mí mismo. Todo el contenido de su obra ... coincide casi exactamente con mis propias meditaciones, que han ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años". Otro hecho resaltable es que Gauss asistió a la famosa habilitación de Riemann donde este último sentó las bases de la Geometría Riemanniana actual. Cuenta el físico Weber, amigo de Gauss, que éste, de camino a casa, le dijo emocionado que lo que había explicado Riemann cambiaría la geometría en lo sucesivo, y así fue.

En Física, Gauss hizo importantes descubrimientos en electromagnetismo. A él se deben las llamadas Leyes de Kirchoff, el telégrafo electromecánico, y métodos prácticos de cálculo de la intensidad del campo elctromagnético terrestre (que han estado en uso hasta bien avanzado el siglo XX). También trabajó en óptica: estudió las leyes de paralaje y formuló las leyes que gobiernan las lentes.

En fin, aunque algunas de estas curiosidades no esté contrastada, no hay duda de que Gauss se encuentra entre los tres mejores matemáticos de la historia, junto a  Euclides y Newton. El famoso viajero Alexander von Humboldt preguntó a Laplace: "¿Quién es el mayor matemático de Alemania?" a lo que Lapace respondió "Pfaff" (famoso por estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico). Asombrado, von Humboldt replicó: "¿Y qué me dice de Gauss?"   La respuesta de de Laplace fue: "Oh, Gauss es el mayor matemático del mundo".


Como última anécdota (algo macabra), incluiremos que tras su muerte, el cerebro de Gauss fue preservado y estudiado, y que se encontraron profundos surcos en su materia gris, lo que a principios del siglo XX se interpretó como una explicación de su genio sin igual.


1 comentario:

  1. Se dice que su mujer estaba agonizando en el dormitorio de arriba, a punto de fallecer.

    Entonces alguien bajó a anunciarle a Gauss que su mujer estaba en las últimas y que quería verlo, mientras éste se encontraba muy concentrado trabajando en algo.

    Gauss le hizo un ademán para decirle que se fuera, no sin antes mencionar, sin levantar la cabeza: "Que espere un poco"

    Todo un figura

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